Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，△PAD為等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC、AB的中點
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）證明：PA⊥平面PCD；
（Ⅲ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD的中點G，連接AG，GE，證明AEFG為平行四邊形，確定出EF∥GA，運用判斷定理可證明；
（Ⅱ）證明CD⊥PA，PA⊥PD，運用線面垂直的定理可證明；
（Ⅲ）取AD中點O，連接PO，確定PO為四棱錐P-ABCD的高，求出PO=1，運用體積公式V=$\frac{1}{3}×$PO×AB×AD求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：取PD的中點G，連接AG，GE．
∵△PAD中，G，E分別為PD，PC的中點，∴GE∥CD，GE=$\frac{1}{2}$CD，
∵E、F分別為PC、AB的中點
∴AF∥CD，AF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AF∥GE，AF=GE，
∴AEFG為平行四邊形，
∴EF∥GA，
∵EF?面PAD，PA?面PAD，
∴EF∥面PAD．
（Ⅱ）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
∵PA?面PAD，∴CD⊥PA，
∵∠APD=90°，
∴PA⊥PD，
∵CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD；
（Ⅲ）取AD中點O，連接PO，
∵平面PAD⊥平面ABCD及△PAD為等腰直角三角形，∴PO⊥面ABCD，
即PO為四棱錐P-ABCD的高．
∵AD=2，∴PO=1，
∴V=$\frac{1}{3}×$PO×AB×AD=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了空間直線，平面的垂直，平行問題，求解幾何體的體積，屬于中檔題，關(guān)鍵是運用好定理，抓住條件．