Question

16．下列命題中是真命題的為（　　）

• A． “存在x₀∈R，x₀²+sinx₀+e^x₀＜1”的否定是“不存在x₀∈R，x₀²+sinx₀+e^x₀＜1”
• B． 在△ABC中，“AB²+AC²＞BC²”是“△ABC為銳角三角形”的充分不必要條件
• C． 任意x∈N，3^x＞1
• D． 存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），sinx₀+cosx₀=tanx₀

Answer 1

分析 直接寫出命題的否定判斷A；由充分必要條件的判定方法判斷B；舉例說明C錯(cuò)誤；利用輔助角公式化積，結(jié)合三角函數(shù)的圖象判斷D．

解答 解：對(duì)于A，“存在x₀∈R，x₀²+sinx₀+e^x₀＜1”的否定是“存在x₀∈R，x₀²+sinx₀+e^x₀≥1”，故A為假命題；
對(duì)于B，∵AB²+AC²＞BC²?$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}＞0$，即cosA＞0，
∵0＜A＜π，故A為銳角，但未必有△ABC為銳角三角形；反之，若△ABC為銳角三角形，則0＜A＜$\frac{π}{2}$，故cosA＞0，即AB²+AC²＞BC²，
∴“AB²+AC²＞BC²”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件，故B為假命題；
對(duì)于C，當(dāng)x=0時(shí)，3⁰=1，故C為假命題；
對(duì)于D，∵sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，故命題轉(zhuǎn)化為存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），$\sqrt{2}sin（{x}_{0}+\frac{π}{4}）=tan{x}_{0}$，
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$與y=tanx在[0，$\frac{π}{2}$]上的圖象如圖：
可知y=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$與y=tanx在[0，$\frac{π}{2}$]上必有交點(diǎn)，即存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），$\sqrt{2}sin（{x}_{0}+\frac{π}{4}）=tan{x}_{0}$，
故D為真命題．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了充分必要條件的判定方法，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．