Question

8．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上．
（1）求證：D₁E⊥A₁D；
（2）是否存在點(diǎn)E，使得${V_{B-CE{D_1}}}=\frac{1}{9}$？若存在，求出AE的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD₁，由題意可知AD₁⊥A₁D，再由AB⊥平面AA₁D₁D，得AB⊥A₁D，由線面垂直的判定可得A₁D⊥面AED₁，從而得D₁E⊥A₁D；
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)E，且AE=x，則BE=2-x，由${V_{B-CE{D_1}}}={V_{{D_1}-BCE}}$，結(jié)合棱錐體積公式列式求得x值．

解答 （1）證明：連結(jié)AD₁．由AA₁D₁D是正方形知AD₁⊥A₁D．
∵AB⊥平面AA₁D₁D，∴AB⊥A₁D，且AB∩AD₁=A，
∴A₁D⊥面AED₁，又D₁E?面AED₁，∴D₁E⊥A₁D；
（2）解：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)E，且AE=x，則BE=2-x，${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}BE•BC=\frac{1}{2}（2-x）$，
又${V_{B-CE{D_1}}}={V_{{D_1}-BCE}}$，
即${V_{{D_1}-BCE}}=\frac{1}{9}$，即$\frac{1}{3}{S_{△BCE}}•D{D_1}=\frac{1}{9}$，得$\frac{1}{2}（2-x）=\frac{1}{3}$，從而$x=\frac{4}{3}$．
即存在這樣的點(diǎn)E，使得${V_{B-CE{D_1}}}=\frac{1}{9}$，此時(shí)$AE=\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查了線面垂直的判斷，訓(xùn)練了等積法求多面體的體積，是中檔題．