Question

11．（理）函數$f（x）=\frac{9}{{{x^2}+1}}+\frac{4}{{4-{x^2}}}$（-2＜x＜2）的最小值為5．

Answer 1

分析 運用乘1法，可得f（x）=$\frac{1}{5}$•5（$\frac{9}{1+{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{x}^{2}}$）=$\frac{1}{5}$[（1+x²）+（4-x²）]（$\frac{9}{1+{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{x}^{2}}$），展開后再用基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{5}$•5（$\frac{9}{1+{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{x}^{2}}$）
=$\frac{1}{5}$[（1+x²）+（4-x²）]（$\frac{9}{1+{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{x}^{2}}$）
=$\frac{1}{5}$[13+$\frac{9（4-{x}^{2}）}{1+{x}^{2}}$+$\frac{4（1+{x}^{2}）}{4-{x}^{2}}$]
≥$\frac{1}{5}$（13+2$\sqrt{9•4}$）=5．
當且僅當2（1+x²）=3（4-x²），即x=±$\sqrt{2}$時，
f（x）取得最小值5．
故答案為：5．

點評 本題考查函數的最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．