Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}定義如下：a₁=1，a₂=3，${a_{n+2}}=\frac{{2（n+1）{a_{n+1}}}}{n+2}-\frac{n}{n+2}{a_n}$，n=1，2，…．若${a_m}＞4+\frac{2016}{2017}$，則正整數(shù)m的最小值為8069．

Answer 1

分析 由${a_{n+2}}=\frac{{2（n+1）{a_{n+1}}}}{n+2}-\frac{n}{n+2}{a_n}$，變形為（n+2）a_n+2+na_n=2（n+1）a_n+1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．代入${a_m}＞4+\frac{2016}{2017}$，即可得出．

解答 解：∵${a_{n+2}}=\frac{{2（n+1）{a_{n+1}}}}{n+2}-\frac{n}{n+2}{a_n}$，
∴（n+2）a_n+2+na_n=2（n+1）a_n+1，
∴數(shù)列{na_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2a₂-a₁=5．
∴na_n=1+5（n-1）=5n-4，
∴a_n=5-$\frac{4}{n}$．
∵${a_m}＞4+\frac{2016}{2017}$，∴$5-\frac{4}{m}$＞4+$\frac{2016}{2017}$，解得m＞8068，
則正整數(shù)m的最小為8069．
故答案為：8069．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．