17.已知x,y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$,
求(1)z=x+2y的最大值;
(2)z=x2+y2-10y+25的最小值.

分析 (1)作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用直線平行進(jìn)行求解即可.
(2)z的幾何意義是兩點(diǎn)間的距離的平方,利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$表示的可行域如下圖所示,

由z=x+2y,得y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$,
平移直線y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$,由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最大,此時(shí)z最大,
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=9}\end{array}\right.$,即A(7,9),此時(shí)z=7+2×9=25;
(2)z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2,z的幾何意義為點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)(0,5)的距離的平方;
由圖知,最小值為(0,5)到直線x-y+2=0的距離的平方,
即d2=($\frac{|0-5+2|}{\sqrt{2}}$)2=$\frac{9}{2}$.經(jīng)檢驗(yàn),垂足在線段AC上.

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,可以直線平移以及兩點(diǎn)間的距離公式是解決本題的關(guān)鍵.

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