Question

（本小題滿(mǎn)分14分）設(shè)函數(shù)（），．

(Ⅰ)令，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱(chēng)直線(xiàn)為函數(shù)與的“分界線(xiàn)”．設(shè)，，試探究與是否存在“分界線(xiàn)”？若存在，求出“分界線(xiàn)”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)在上是單調(diào)遞減；在上是單調(diào)遞增.

（2）（3）．

【解析】

試題分析：(I)直接求導(dǎo)，利用得到F(x)的單調(diào)增（減）區(qū)間；

（II）不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，等價(jià)于恰有三個(gè)整數(shù)解，故，令,因?yàn)閔(x)的一個(gè)零點(diǎn)區(qū)間為(0,1),

所以得到另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間,故,問(wèn)題到此得解.

(III)由（I）知可知F(x)的最小值為0,則f(x)與g(x)的圖像在處有公共點(diǎn).

如果f(x)與g(x)存在分界線(xiàn)，因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313244324586821/SYS201301131325580583967910_DA.files/image015.png">即，所以由題意可轉(zhuǎn)化為在恒成立問(wèn)題解決.

（Ⅰ）由得：

················· 1分

①當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上是單調(diào)遞增；····· 3分

②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，

故函數(shù)在上是單調(diào)遞減；在上是單調(diào)遞增. ···· 5分

（Ⅱ）解法一:不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，

等價(jià)于恰有三個(gè)整數(shù)解，故，

令，由且，

所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間，

則另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間，故   解之得．··· 9分

下面證明恒成立．

設(shè)，則．

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此時(shí)取得最大值，則成立．

故所求“分界線(xiàn)”方程為：．　　　　　　…………14分

考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，函數(shù)的零點(diǎn)，不等式恒成立問(wèn)題，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，推理與論證能力.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性難度大，第（II）問(wèn)的關(guān)鍵是構(gòu)造之后，判定一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(0,1),另一個(gè)零點(diǎn),從而問(wèn)題得解.

第（III）問(wèn)關(guān)鍵是理解f(x)與g(x)存在分界線(xiàn)，因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313244324586821/SYS201301131325580583967910_DA.files/image015.png">即，題目可轉(zhuǎn)化為在恒成立問(wèn)題解決.