Question

20．甲、乙、丙三名學生計劃利用今年“十一”長假從五個旅游景點（五個景點分別是：大理、麗江、西雙版納、峨眉山、九寨溝）中每人彼此獨立地選三個景點游玩，其中甲同學必選峨眉山，不選九寨溝，另從其余景點中隨機任選兩個；乙、丙兩名同學從五個景點中隨機任選三個．
（1）求甲同學選中麗江景點且乙同學未選中麗江景點的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙選中麗江景點的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）設事件A為“甲同學選中麗江景點”、事件B為“乙同學選中麗江景點”，事件A與事件B相互獨立，由此能求出甲同學選中麗江景點且乙同學未選中麗江景點的概率．
（2）設事件C為“丙同學選中麗江景點”，則$P（C）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$．X的所有可能取值為0，1，2，3，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）設事件A為“甲同學選中麗江景點”、事件B為“乙同學選中麗江景點”，
則P（A）=$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，P（B）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$． …（3分）
因為事件A與事件B相互獨立，
故甲同學選中麗江景點且乙同學未選中麗江景點的概率為$P（{A\overline B}）=P（A）P（{\overline B}）=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}=\frac{4}{15}$． …（5分）
（2）設事件C為“丙同學選中麗江景點”，
則$P（C）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$．
X的所有可能取值為0，1，2，3．…（7分）
$P（{X=0}）=P（{\overline A\overline B\overline C}）=\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}=\frac{4}{75}$．
$P（{X=1}）=P（{A\overline B\overline C}）+P（{\overline AB\overline C}）+P（{\overline A\overline BC}）=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{20}{75}$．
$P（{X=2}）=P（{AB\overline C}）+P（{A\overline BC}）+P（{\overline ABC}）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{33}{75}$．
$P（{X=3}）=P（{ABC}）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{18}{75}$． …（9分）
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{20}{75}$	$\frac{33}{75}$	$\frac{18}{75}$

X的數(shù)學期望為：$E（X）=0×\frac{4}{75}+1×\frac{20}{75}+2×\frac{33}{75}+3×\frac{18}{75}=\frac{28}{15}$．  …（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．