Question

14．已知函數(shù)$f（x）=4x+\frac{a}{x}+b$，（a，b∈R）為奇函數(shù)．
（1）求b值；
（2）當(dāng)a=-2時，存在x₀∈[1，4]使得不等式f（x₀）≤t成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）當(dāng)a≥1時，求證：函數(shù)g（x）=f（2^x）-c（c∈R）在區(qū)間（-∞，-1]上至多有一個零點．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和最值的關(guān)系進(jìn)行求解即可，
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義先判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)零點之間的關(guān)系進(jìn)行證明．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=4x+\frac{a}{x}+b$，（a，b∈R）為奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），即-4x-$\frac{a}{x}$+b=-4x-$\frac{a}{x}$-b，（a，b∈R，…（3分）
∴b=-b，即b=0；…（5分）
（2）當(dāng)a=-2時，f（x）=4x-$\frac{2}{x}$．…（6分）
∵函數(shù)y=4x，y=-$\frac{2}{x}$在[1，4]均單調(diào)遞增，…（7分）
∴函數(shù)f（x）在[1，4]單調(diào)遞增，…（8分）
∴當(dāng)x∈[1，4]時，f（x）_min=f（1）=2…（9分）
∵存在x₀∈[1，4]使得不等式f（x₀）≤t成立
∴t≥2． …（10分）
（3）證明：g（x）=f（2^x）-c=4•2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$-c，…（11分）
設(shè)x₁＜x₂≤-1，$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{（4•{2^{{x_1}+{x_2}}}-a）（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{{2^{{x_1}+{x_2}}}}}$…（12分）

∵x₁＜x₂≤-1，
∴x₁+x₂＜-2，$4•{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜4•2^-2=1，
∵a≥1，即-a≤-1，
∴$4•{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-a＜0，又${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{1}}$＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴函數(shù)g（x）在（-∞，-1]單調(diào)遞減，…（14分）
又c∈R，結(jié)合函數(shù)圖象知函數(shù)g（x）在（-∞，-1]上至多有一個零點．…（16分）

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的定義和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．