Question

19．實(shí)數(shù)a、b、c滿足a²+b²+c²=5．則6ab-8bc+7c²的最大值為45．

Answer 1

分析 將a²+b²+c²分拆為a²+（$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}$）b²+（$\frac{2}{9}$+$\frac{7}{9}$）c² 是解決本題的關(guān)鍵，再運(yùn)用基本不等式a²+b²≥2ab求最值．

解答 解：因?yàn)?=a²+b²+c²=a²+（$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}$）b²+（$\frac{2}{9}$+$\frac{7}{9}$）c²
=（a²+$\frac{1}{9}$b²）+（$\frac{8}{9}$b²+$\frac{2}{9}$c²）+$\frac{7}{9}$c²
≥$\frac{2}{3}$|ab|+$\frac{8}{9}$|bc|+$\frac{7}{9}$c²
≥$\frac{2}{3}$ab-$\frac{8}{9}$bc+$\frac{7}{9}$c²
=$\frac{1}{9}$[6ab-8bc+7c²]，
所以，6ab-8bc+7c²≤9×5=45，
即6ab-8bc+7c²的最大值為45，當(dāng)且僅當(dāng)：a²=$\frac{1}{9}$b²，$\frac{8}{9}$b²=$\frac{2}{9}$c²，
解得，a²=$\frac{5}{46}$，b²=$\frac{45}{46}$，c²=$\frac{180}{46}$，且它們的符號(hào)分別為：a＞0，b＞0，c＜0或a＜0，b＜0，c＞0．
故答案為：45．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，以及基本不等式取等條件的確定，充分考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與合理分拆的運(yùn)算技巧，屬于難題．