Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=（-1）ⁿ（3a_n-1+1），n≥2，n∈N^*，且a₁=a₂=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₁₆=$\frac{7}{16}（{3}^{8}-1）$-6．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=（-1）ⁿ（3a_n-1+1），n≥2，n∈N^*，且a₁=a₂=1，分類討論：①n=2k（k∈N^*）時，a_2k+1=3a_2k-1+1，變形為：a_2k+1+$\frac{1}{2}$=3（a_2k-1+$\frac{1}{2}$），可得數(shù)列{a_2k-1+$\frac{1}{2}$}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$，公比為3．②n=2k+1（k∈N^*）時，a_2k+2=-3a_2k-1，變形為：a_2k+2+$\frac{1}{4}$=-3（a_2k+$\frac{1}{4}$），可得：數(shù)列{a_2k+$\frac{1}{4}$}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{5}{4}$，公比為-3．
分組利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=（-1）ⁿ（3a_n-1+1），n≥2，n∈N^*，且a₁=a₂=1，
n=2k（k∈N^*）時，a_2k+1=3a_2k-1+1，變形為：a_2k+1+$\frac{1}{2}$=3（a_2k-1+$\frac{1}{2}$），∴數(shù)列{a_2k-1+$\frac{1}{2}$}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$，公比為3．
n=2k+1（k∈N^*）時，a_2k+2=-3a_2k-1，變形為：a_2k+2+$\frac{1}{4}$=-3（a_2k+$\frac{1}{4}$），∴數(shù)列{a_2k+$\frac{1}{4}$}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{5}{4}$，公比為-3．
則S₁₆=（a₁+a₃+…+a₁₅）+（a₂+a₄+…+a₁₆）
=$\frac{\frac{3}{2}（{3}^{8}-1）}{3-1}$-$\frac{1}{2}×8$+$\frac{\frac{5}{4}[1-（-3）^{8}]}{1-（-3）}$-$\frac{1}{4}×8$=$\frac{7}{16}（{3}^{8}-1）$-6．
故答案為：$\frac{7}{16}（{3}^{8}-1）$-6．

點(diǎn)評 本題考查了累加求和方法、“裂項(xiàng)求和”方法、等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．