Question

7．三棱錐A-BCD中，DA⊥AC，DB⊥BC，DA=AC，DB=BC，AB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$CD，若三棱錐A-BCD的體積為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，則CD的長為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取CD的中點M，連接AM，BM，用CD表示出AM，BM，AB，證明CD⊥平面ABM，于是V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABM}•CD$，列方程解出CD．

解答 解：取CD的中點M，連接AM，BM，
∵DA⊥AC，DB⊥BC，DA=AC，DB=BC，
∴AM⊥CD，BM⊥CD，CM=DM，
∴CD⊥平面ABM，
∴V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABM}•CD$．
設(shè)CD=x，則AM=BM=$\frac{x}{2}$，AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}×\frac{x}{2}×\frac{x}{2}$=$\frac{{x}^{2}}{8}$，
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{{x}^{2}}{8}×x$=$\frac{{x}^{3}}{24}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴x=2$\sqrt{2}$．
故選B．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．