Question

19．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別是AB、BB₁的中點．
（Ⅰ）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）設AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，求異面直線BC₁與A₁D所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC₁交A₁C于點F，連接DF，則BC₁∥DF．由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）以C為坐標原點，$\overrightarrow{CA}$的方向為x軸正方向，$\overrightarrow{CB}$的方向為y軸正方向，$\overrightarrow{C{C}_{1}}$的方向為z軸正方向，建立空間直角坐標系C-xyz．利用向量法能求出異面直線BC₁與A₁D所成角．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC₁交A₁C于點F，則F為AC₁的中點．
又D是AB的中點，連接DF，則BC₁∥DF．
因為DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
解：（Ⅱ）∵AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AC⊥BC．
以C為坐標原點，$\overrightarrow{CA}$的方向為x軸正方向，$\overrightarrow{CB}$的方向為y軸正方向，$\overrightarrow{C{C}_{1}}$的方向為z軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz．
則D（1，1，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B（0，2，0）
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，1，-2）．
設異面直線BC₁與A₁D所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}D}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{{A}_{1}D}|}$=$\frac{|0-2-4|}{\sqrt{8}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=30°，
∴異面直線BC₁與A₁D所成角為30°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．