Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若BF⊥BA，則cos2∠OBF=$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 由題意知F（-c，0），A（a，0），B（0，b）；從而寫出$\overrightarrow{BF}$=（-c，-b），$\overrightarrow{BA}$=（a，-b），從而可得-ac+a²-c²=0，從而可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；即sin∠OBF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，從而利用二倍角公式即可．

解答 解：由題意得，
F（-c，0），A（a，0），B（0，b）；
∵$\overrightarrow{BF}$=（-c，-b），$\overrightarrow{BA}$=（a，-b），
∵BF⊥BA，
∴$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{BA}$=-ac+b²=0，
∴-ac+a²-c²=0，
解得，a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$c，
故$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{1+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
故sin∠OBF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故cos2∠OBF=1-2•（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²=$\sqrt{5}$-2，
故答案為：$\sqrt{5}$-2．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及平面向量的應(yīng)用，同時考查了三角恒等變換的應(yīng)用．