Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（Ⅰ）若函數(shù)滿足f（1）=2，且在定義域內(nèi)f（x）≥bx²+2x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)

1

e

＜x＜y＜1時(shí)，試比較

y

x

與

1+lny

1+lnx

的大��；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立等價(jià)于b≤1-

1

x

-

lnx

x

，構(gòu)造函數(shù)g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，利用導(dǎo)數(shù)可求得g（x）_min，從而可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上遞減，從而可得

1

e

＜x＜y＜1時(shí)，g（x）＞g（y），化簡可得結(jié)論；
（Ⅲ）求導(dǎo)數(shù)f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范圍，對(duì)a的范圍分情況討論可由f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） 由f（1）=2，得a=1…（2分）
∵x＞0，∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立等價(jià)于b≤1-

1

x

-

lnx

x

，
令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g′（x）=

lnx

x2

∴x∈（0，1]時(shí)，g′（x）≤0
∴g（x）在（0，1]上遞減，
在[1，∞）上遞增，所以g（x）_min=g（1）=0，
即b≤0…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上遞減，
∴

1

e

＜x＜y＜1時(shí)，g（x）＞g（y）即

1+lnx

x

＞

1+lny

y

 …（6分）
而

1

e

＜x＜y＜1時(shí)，-1＜lnx＜0，
∴1+lnx＞0，
∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

；…（9分）
（Ⅲ）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥

lnx

x

設(shè)h（x）=

lnx

x

（x＞0），則h′(x)=

1-lnx

x2

令h′(x)=

1-lnx

x2

＞0，則0＜x＜e；令h′(x)=

1-lnx

x2

＜0，可得x＞e
∴當(dāng)x=e時(shí)，h（x）_max=

1

e

，
∴當(dāng)a≥

1

2e

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增          …（11分）
若0＜a＜

1

2e

，g(x)=2ax-lnx，(x＞0)，g′(x)=2a-

1

x

g′(x)=0，x=

1

2a

，x∈(0，

1

2a

)，g′(x)＜0；x∈(

1

2a

，+∞)，g′(x)＞0，
∴x=

1

2a

時(shí)，取得極小值，即最小值．
當(dāng)0＜a＜

1

2e

時(shí)，g（

1

2a

）=1-ln

1

2a

＜0，f'（x）=0必有根，f（x）必有極值，在定義域上不單調(diào)…（13分）
∴a≥

1

2e

                                         …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查分類討論思想在分析解決問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．