Question

已知向量

a

1，

a

2，

a

3，…

a

n…滿足如下條件：

a

n-

a

n-1=

d

（n=2，3，4，…），

d

與

a1

的夾角為

2π

3

，且|

a

1|=4|

d

|=2，則數(shù)列|

a

1|，|

a

2|，|

a

3|，…|

a

n|…中最小的項(xiàng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得

an

，再由向量的平方即為模的平方，以及向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合二次函數(shù)的最值，即可得到．

解答： 解：

a

n-

a

n-1=

d

（n=2，3，4，…），
則

an

=

a1

+（n-1）

d

，
由

d

與

a1

的夾角為

2π

3

，且|

a1

|=4，|

d

|=2，
則

a1

•

d

=4×2×（-

1

2

）=-4，
即有|

an

|²=

an

²=

a1

2+（n-1）²

d

2+2（n-1）

a1

•

d

=16+4（n-1）²-8（n-1）=4（n-2）²+12，
當(dāng)n=2時(shí)，|

a2

|²取得最小，且為12．
即有最小的項(xiàng)為2

3

．
故答案為：2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查二次函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．