Question

7．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_na_n+1+$\sqrt{3}$（a_n-a_n+1）+1=0，則a₂₀₁₆=（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． 2+$\sqrt{3}$
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可得a_n+1=$\frac{\sqrt{3}{a}_{n}+1}{\sqrt{3}-{a}_{n}}$，分別求出a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，可知數(shù)列{a_n}是以6為周期的擺動(dòng)數(shù)列，問題得以解決．

解答 解：∵a_na_n+1+$\sqrt{3}$（a_n-a_n+1）+1=0，
∴（$\sqrt{3}$-a_n）a_n+1=$\sqrt{3}$a_n+1，
∴a_n+1=$\frac{\sqrt{3}{a}_{n}+1}{\sqrt{3}-{a}_{n}}$，
∵a₁=1，
∴a₂=$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$=2+$\sqrt{3}$，
∴a₃=$\frac{\sqrt{3}（2+\sqrt{3}）+1}{\sqrt{3}-（2+\sqrt{3}）}$=-2-$\sqrt{3}$，
∴a₄=$\frac{\sqrt{3}（-2-\sqrt{3}）+1}{\sqrt{3}-（-2-\sqrt{3}）}$=-1，
∴a₅=$\frac{\sqrt{3}×（-1）+1}{\sqrt{3}-（-1）}$=-2+$\sqrt{3}$，
∴a₆=$\frac{\sqrt{3}（-2+\sqrt{3}）+1}{\sqrt{3}-（-2+\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$，
∴a₇=$\frac{\sqrt{3}（2-\sqrt{3}）+1}{\sqrt{3}-（2-\sqrt{3}）}$=1，
∴數(shù)列{a_n}是以6為周期的擺動(dòng)數(shù)列，
∴a₂₀₁₆=a_6×336=a₆=2-$\sqrt{3}$
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和規(guī)律探究，關(guān)鍵是求出數(shù)列{a_n}是以6為周期的擺動(dòng)數(shù)列，屬于中檔題．