Question

8．已知直線2mx-y-8m-3=0和圓（x-3）²+（y+6）²=25相交于A，B兩點，當弦AB最短時，m的值為（　　）

• A． -$\frac{1}{6}$
• B． -6
• C． 6
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 直線過定點，根據(jù)直線和圓相交的性質確定線段AB最短時的等價條件即可求出直線斜率，求出m值．

解答 解：將直線l變形得：2m（x-4）+（y+3）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4=0}\\{y+3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-3}\end{array}\right.$，即直線L恒過A（4，-3），
將圓C化為標準方程得：（x-3）²+（y+6）²=25，
∴圓心C為（3，-6），半徑r=5，
∵點A到圓心C的距離d=$\sqrt{（4-3）^{2}+（-3+6）^{2}}$=$\sqrt{10}$＜5=r，
∴點A在圓內，
則L與C總相交；
若線段AB最短，
則滿足CA⊥L，
∵直徑AC所在直線方程的斜率為$\frac{-3+6}{4-3}$=3，
∴此時l的斜率為-$\frac{1}{3}$，可得2m=$\frac{1}{3}$，解得m=$\frac{1}{6}$
故選：A．

點評 本題主要考查直線與圓相交的性質，考查恒過定點的直線方程，圓的標準方程的應用，要求熟練掌握直線和圓相交的性質．