Question

5．已知函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x+8）=f（x），且當x∈（0，4]時f（x）=$\frac{ln（2x）}{x}$，關于x的不等式f²（x）+af（x）＞0在[-2016，2016]上有且只有2016個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-$\frac{1}{3}$ln6，ln2]
• B． （-ln2，-$\frac{1}{3}$ln6）
• C． （-ln2，-$\frac{1}{3}$ln6]
• D． （-$\frac{1}{3}$ln6，ln2）

Answer 1

分析 先判斷f（x）的奇偶性、周期性，利用函數(shù)的性質(zhì)將問題轉化為（0，4]整數(shù)解問題，求出導數(shù)后判斷函數(shù)的單調(diào)性和取值情況，畫出函數(shù)的圖象后對a進行分類討論，利用一元二次不等式的解法結合圖象求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x+8）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且周期是8，則在[-2016，2016]上共有504個周期，
∵不等式在[-2016，2016]上有且只有2016個整數(shù)解，∴在一個周期上有且只有4個整數(shù)解，
由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，在（0，4]上有且只有2個整數(shù)解，
∵當x∈（0，4]時f（x）=$\frac{ln（2x）}{x}$，∴則f′（x）=$\frac{1-ln（2x）}{{x}^{2}}$，
當f′（x）＞0得1-ln（2x）＞0，即ln（2x）＜1，
即0＜2x＜e，即0＜x＜$\frac{e}{2}$，
由f′（x）＜0得1-ln（2x）＜0，得ln（2x）＞1，
即2x＞e，即x＞$\frac{e}{2}$，
即當x=$\frac{e}{2}$時，函數(shù)f（x）取得極大值，同時也是最大值
f（$\frac{e}{2}$）=$\frac{lne}{\frac{e}{2}}$=$\frac{2}{e}$，
即當0＜x＜$\frac{e}{2}$時，f（x）＜$\frac{2}{e}$有一個整數(shù)解1，
當x＞$\frac{e}{2}$時，0＜f（x）＜$\frac{2}{e}$有無數(shù)個整數(shù)解，
①若a=0，則f²（x）+af（x）＞0得f²（x）＞0，此時有無數(shù)個整數(shù)解，不滿足條件．
②若a＞0，
則由f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜-a，
當f（x）＞0時，不等式由無數(shù)個整數(shù)解，不滿足條件．
③當a＜0時，由f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞-a或f（x）＜0，
當f（x）＜0時，沒有整數(shù)解，
則要使當f（x）＞-a有兩個整數(shù)解，
∵f（1）=ln2，f（2）=$\frac{ln4}{2}$=ln2，f（3）=$\frac{ln6}{3}$，
∴當f（x）≥ln2時，函數(shù)有兩個整數(shù)點1，2，當f（x）≥$\frac{ln6}{3}$時，函數(shù)有3個整數(shù)點1，2，3
∴要使f（x）＞-a有兩個整數(shù)解，
則$\frac{ln6}{3}$≤-a＜ln2，即-ln2＜a≤-$\frac{1}{3}$ln6，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性的綜合應用，不等式的求解，以及根據(jù)條件判斷函數(shù)的取值范圍，利用數(shù)形結合結合一元二次不等式的解法是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．