Question

17．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+t\end{array}$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c₁的極坐標(biāo)方程為：ρsin²θ-4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²（4cos²θ-1）-3=0
（Ⅰ）求直線l與曲線C₁交點(diǎn)的極坐標(biāo)的極徑；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C₂交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線l與曲線C₁聯(lián)立可得交點(diǎn)的極坐標(biāo)的極徑；
（Ⅱ）把$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+t\end{array}$（t為參數(shù)）代入曲線C₂的普通方程，求出參數(shù)，即可求|AB|．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+t\end{array}$，普通方程為y=x+1，
曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ-4cosθ=0的直角坐標(biāo)方程為y²=4x，
直線l與曲線C₁聯(lián)立可得（x-1）²=0，
∴x=1，y=2，
∴直線l與曲線C₁的公共點(diǎn)的極徑ρ=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$．
（Ⅱ）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²（4cos²θ-1）-3=0的普通方程為3x²-y²=3
把$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+t\end{array}$（t為參數(shù)）代入3x²-y²=3可得t²+3t=0，∴t=0或-3，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}|-3-0|$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線l的參數(shù)方程、曲線的極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．