Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F₁（-1，0）和F₂（1，0），P為橢圓上一點(diǎn)，且F₁F₂是PF₁和PF₂的等差中項(xiàng)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，且∠P₁FF₂=120°，求cos∠F₁PF₂．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，可得c=1，再由F₁F₂是PF₁和PF₂的等差中項(xiàng)建立等式解出a值，即可得出橢圓方程；
（2）由題意設(shè)PF₁=m，PF₂=n，則由橢圓定義和余弦定理得

m+n=4 n2=m2+4-4mcos120°

，解出m，n的值，再由余弦定理求值即可．

解答： 解：（1）因?yàn)镻F₁+PF₂=2a=2F₁F₂=4c=4，即2a=4，解得a=2，
∴b=

22-1

=

3

，故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)PF₁=m，PF₂=n，則由橢圓定義和余弦定理得

m+n=4 n2=m2+4-4mcos120°

，
所以（4-m）²=m²+4+2m，解得m=

6

5

，n=

14

5

．
所以cos∠F₁PF₂=

n2+m2-4

2mn

=

11

14

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)及余弦定理，屬于基礎(chǔ)知識考查題．