Question

13．在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x-1）²+y²=1．以 O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）射線OM：$θ=\frac{π}{4}$與圓C的交點為O、P兩點，求P點的極坐標．

Answer 1

分析 （1）根據圓的標準方程，以及以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，確定出圓C的極坐標方程即可；
（2）法1：把射線OM極坐標方程化為普通方程，與圓方程聯(lián)立，消去y求出x的值，進而求出y的值，確定出P的坐標，化為極坐標即可；法2：把θ=$\frac{π}{4}$代入圓的極坐標方程求出ρ的值，即可確定出P的極坐標．

解答 解：（1）圓C的普通方程是（x-1）²+y²=1，
∵以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，
∴x=ρcosθ，y=ρsinθ，即（ρcosθ-1）²+（ρsinθ）²=1，
整理得：ρ²（sin2θ+cos2θ）-2ρcosθ+1=1，即ρ²-2ρcosθ=0，
∵ρ≠0，∴ρ-2cosθ=0，即即ρ=2cosθ，
則圓C的極坐標方程是ρ=2cosθ；
（2）法1：射線OM：θ=$\frac{π}{4}$的普通方程為y=x，x≥0，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x，x≥0\\{（{x-1}）^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，
消去y并整理得x²-x=0，即x（x-1）=0，
解得：x=1或x=0，
∴P點的直角坐標為（1，1），
則P點的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）；
法2：把θ=$\frac{π}{4}$代入ρ=2cosθ得：ρ=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
則P點的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．

點評 此題考查了簡單曲線的極坐標方程，熟練掌握極坐標方程與普通方程之間的轉化是解本題的關鍵．