Question

7．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點(diǎn)P，Q，R分別是棱A₁A，A₁B₁，A₁D₁的中點(diǎn)，以△PQR為底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在該正方體的表面上，則這個(gè)正三棱柱的高為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 分別取過C點(diǎn)的三條面對(duì)角線的中點(diǎn)，則此三點(diǎn)為棱柱的另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)，利用中位線定理證明．于是三棱柱的高為正方體體對(duì)角線的一半．

解答 解：連結(jié)A₁C，AC，B₁C，D₁C，
分別取AC，B₁C，D₁C的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連結(jié)EF，EG，F(xiàn)G．
由中位線定理可得PE$\frac{∥}{=}$A₁C，QF$\frac{∥}{=}$A₁C，RG$\frac{∥}{=}$A₁C．
又A₁C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR-EFG是正三棱柱．
∴三棱柱的高h(yuǎn)=PE=$\frac{1}{2}$A₁C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正棱柱的結(jié)構(gòu)特征，作出三棱柱的底面是計(jì)算棱柱高的關(guān)鍵，屬于中檔題．