Question

【題目】已知點(diǎn)E（﹣4，0）和F（4，0），過(guò)點(diǎn)E的直線l與過(guò)點(diǎn)F的直線m相交于點(diǎn)M，設(shè)直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，如果k1k2．

（1）記點(diǎn)M形成的軌跡為曲線C，求曲線C的軌跡方程．

（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是曲線C上的兩點(diǎn)，A，B是曲線C上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ＝∠BPQ，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（x≠）（2）直線AB的斜率為定值，詳見(jiàn)解析

【解析】

(1)設(shè)點(diǎn),再利用k1k2求得關(guān)于的方程即可.

(2)由∠APQ＝∠BPQ可知設(shè)直線PA的斜率為k,則PB的斜率為﹣k,再設(shè)直線PA的直線方程與橢圓聯(lián)立,求得的坐標(biāo),再同理求得的坐標(biāo),再表達(dá)直線AB的斜率進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可.

（1）設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)A（x,y）,由,,得,

又,∴,即（x≠±4）．

即點(diǎn)A的軌跡方程為（x≠±4）；

（2）當(dāng)∠APQ＝∠BPQ,則PA、PB的斜率之和為0,設(shè)直線PA的斜率為k,

則PB的斜率為﹣k,

直線PA的直線方程為y﹣3＝k（x﹣2）,

由,整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48＝0,

∴,

同理直線PB的直線方程為y﹣3＝﹣k（x﹣2）,

可得．

∴,,

∴,

∴直線AB的斜率為定值．