11.已知$f(x)=\frac{kx+b}{e^x}$.
(1)若f(x)在x=0處的切線方程為y=x+1,求k與b的值;
(2)求$\int_0^1{\frac{x-1}{e^x}}{d_x}$.

分析 (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f(0)=1,f′(0)=1,列方程組解出即可;
(2)結(jié)合(1)中的導(dǎo)數(shù)可求得y=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$的原函數(shù),利用微積分基本定理計算定積分.

解答 解:(1)f′(x)=$\frac{k{e}^{x}-(kx+b){e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{k-kx-b}{{e}^{x}}$.
∵f(x)在x=0處的切線方程為y=x+1,
∴$\left\{\begin{array}{l}{f(0)=1}\\{f′(0)=1}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k-b=1}\end{array}\right.$,
解得k=2,b=1.
(2)令$\frac{k-kx-b}{{e}^{x}}$=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$得$\left\{\begin{array}{l}{-k=1}\\{k-b=-1}\end{array}\right.$,
解得k=-1,b=0,
∴($\frac{-x}{{e}^{x}}$)′=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$,
∴$\int_0^1{\frac{x-1}{e^x}}{d_x}$=$\frac{-x}{{e}^{x}}$${|}_{0}^{1}$=-$\frac{1}{e}$.

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,微積分基本定理,屬于中檔題.

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