Question

20．已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinC=$\sqrt{3}$ccosA．
（1）求角A；
（2）若b=2，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理、商的關(guān)系化簡(jiǎn)已知的式子，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A；
（2）由條件和三角形的面積公式列出方程，求出c的值，由余弦定理列出方程化簡(jiǎn)后求出a的值．

解答 解：（1）由題意知，asinC=$\sqrt{3}$ccosA，
由正弦定理得，sinAsinC=$\sqrt{3}$sinCcosA，
∵sinC＞0，∴sinA=$\sqrt{3}$cosA，則tanA=$\sqrt{3}$，
由0＜A＜π得A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵b=2，A=$\frac{π}{3}$，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，則$\frac{1}{2}×2×c×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，解得c=2，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA
=4+4-2×$2×2×\frac{1}{2}$=4，
則a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理，三角形的面積公式，以及商的關(guān)系的應(yīng)用，注意內(nèi)角的范圍，考查化簡(jiǎn)、變形能力．