Question

16．用半徑為R的圓鐵皮剪一個(gè)內(nèi)接矩形，再以內(nèi)接矩形的兩邊分別作為圓柱的高與底面半徑，則圓柱的體積最大時(shí)，該圓鐵皮面積與其內(nèi)接矩形的面積比為（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{3}π}{8}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}π}{7}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}π}{8}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}π}{7}$

Answer 1

分析 設(shè)圓柱的高為x，則其為內(nèi)接矩形的一邊長(zhǎng)，那么另一邊長(zhǎng)為y=2$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出當(dāng)x=$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$時(shí)，此圓柱體積最大．由此能求出圓柱的體積最大時(shí)，該圓鐵皮面積與其內(nèi)接矩形的面積比．

解答 解：設(shè)圓柱的高為x，則其為內(nèi)接矩形的一邊長(zhǎng)，那么另一邊長(zhǎng)為y=2$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$，
∴圓柱的體積V（X）=πy²x=$π×4[{R}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}]x$=π（-x³+4R²x），（0＜x＜2R），
∴V′（x）=π（-3x²+4R²），
列表如下：

x	（0，$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$）	$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$	（$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$，2R）
V′（x）	+	0	-

∴當(dāng)x=$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$時(shí)，此圓柱體積最大．
∴圓柱體體積最大時(shí)，該圓內(nèi)接矩形的兩條邊長(zhǎng)分別為$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$和2$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{3}R}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}R}{3}$，
∴圓柱的體積最大時(shí)，該圓鐵皮面積與其內(nèi)接矩形的面積比為：
$\frac{π{R}^{2}}{\frac{2\sqrt{3}R}{3}•\frac{2\sqrt{6}R}{3}}$=$\frac{3\sqrt{2}π}{8}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓柱的體積最大時(shí)，該圓鐵皮面積與其內(nèi)接矩形的面積比的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用．