Question

已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

．
（1）角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（1，3），求f（α）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（1，3），根據(jù)定義求出α的兩弦值，代入可得f（α）的值；
（2）利用二倍角公式和輔助角公式，將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（1，3），
∴x=1，y=3，r=

10

，
∴sinα=

3 10

10

，cosα=

10

10

，
∴f（α）=

10

10

（

3 10

10

+

10

10

）-

1

2

=-

1

10

，
（2）∵f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

1

2

（sin2x+cos2x）
=

2

2

sin（2x+

π

4

）．
∵ω=2，
故函數(shù)f（x）的最小正周期T=π，
由2x+

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，（k∈Z）得：
x∈[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，（k∈Z）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．