Question

20．已知a，b，c＞0且滿足a十b+c=1，則a十$\sqrt$$+\root{3}{c}$的最大值為$\frac{5}{4}$+$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 令x=a，y=$\sqrt$，z=$\root{3}{c}$，則x+y²+z³=1，x+y+z=1-$（y-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$-（z³-z），令t=z³-z，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，進(jìn)而得出．

解答 解：令x=a，y=$\sqrt$，z=$\root{3}{c}$，
則x+y²+z³=1，
x+y+z=1-y²+y-z³+z
=1-$（y-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$-（z³-z），
令t=z³-z，t′=3z²-1=3$（z+\frac{\sqrt{3}}{3}）（z-\frac{\sqrt{3}}{3}）$，可知：z=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，t取得最小值，
∴x+y+z≤$\frac{5}{4}$-$[（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}]$=$\frac{5}{4}$+$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，當(dāng)且僅當(dāng)y=$\frac{1}{2}$，z=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x=1-$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{9}$時(shí)取等號(hào)．
∴a十$\sqrt$$+\root{3}{c}$的最大值為$\frac{5}{4}$+$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
故答案為：$\frac{5}{4}$+$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性、換元方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．