Question

雙曲線x²-y²=a²的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，P為其右支上一點(diǎn)，且∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，則∠PA₁A₂等于（　�。�

• A、

  π

  36

• B、

  π

  18

• C、

  π

  12

• D、

  π

  6

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意可表示A₁，A₂坐標(biāo)，設(shè)出P坐標(biāo)，則可分別表示出PA₁和PA₂的斜率，根據(jù)雙曲線方程可知

y2

x2-a2

=1，進(jìn)而可推斷出-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1．從而tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1，最后得出5∠PA₁A₂=

π

2

-∠PA₁A₂即可求得∠PA₁A₂．

解答： 解：由題意A₁（-a，0），A₂（a，0），P（x，y），
k_PA1=tan∠PA₁A₂=

y

x+a

，①
k_PA2=-tan∠PA₂A₁=

y

x-a

，②
由x²-y²=a²得

y2

x2-a2

=1，
①×②，得-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1，
∴tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1
即tan（5∠PA₁A₂）=tan（

π

2

-∠PA₁A₂）
∴5∠PA₁A₂=

π

2

-∠PA₁A₂
∴∠PA₁A₂=

π

12

故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線為載體，主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)．題中靈活的利用了雙曲線的方程．