【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,分別是棱的中點(diǎn),是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若直線與平面不存在公共點(diǎn),以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是(

①三棱錐的體積為定值;

的面積的最小值為

平面;

④經(jīng)過三點(diǎn)的截面把正方體分成體積相等的兩部分.

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

由題意得,平面,連接,則,可得平面,平面,由此得平面平面,則點(diǎn)在直線上,從而有的面積為定值,由此可判斷①;結(jié)合題意得,當(dāng)點(diǎn)的交點(diǎn)時(shí),,有最小值,由此可判斷②;由題意可得平面,從而推出,由此可判斷③;將平面補(bǔ)成平面均為各條棱的中點(diǎn)),結(jié)合圖象可判斷④.

解:∵直線與平面不存在公共點(diǎn),

平面,

連接,則,

分別是棱的中點(diǎn),

平面,平面,

平面

同理,平面,

∴平面平面,

平面,平面平面,平面,

∴點(diǎn)在直線上,

,

的面積為定值,

∴三棱錐的體積為定值,則①對(duì);

,

∴當(dāng)點(diǎn)的交點(diǎn)時(shí),有最小值,

此時(shí),直角的面積有最小值,且,則②對(duì);

∵在正方體中,,

平面得,,

平面,∴,則

同理,,

平面,則③對(duì);

將平面補(bǔ)成平面均為各條棱的中點(diǎn)),如圖,

則平面將正方體分成兩個(gè)大小形狀完全相同的部分(均由一個(gè)正六棱錐和三個(gè)三棱錐拼接而成),則④對(duì);

故選:D

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A. B. C. D.

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