Question

15．已知函數(shù)f（x）=lg（3+x）+lg（3-x）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是否有零點(diǎn)？若有，則求出零點(diǎn)的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義即可作出判斷；
（2）令f（x）=0，可得函數(shù)的零點(diǎn)．

解答 解：（1）依題意有$\left\{\begin{array}{l}{3+x＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，解得-3＜x＜3，
所以函數(shù)f（x）的定義域是{x|-3＜x＜3}．f（x）定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵f（x）=lg（3+x）+lg（3-x）=lg（9-x²），
∴f（-x）=lg（9-（-x）²）=lg（9-x²）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（2）令f（x）=0，
可得（3+x）（3-x）=1，
∴x=±2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)定義域的求解及函數(shù)奇偶性的判斷，屬基礎(chǔ)題，定義是解決函數(shù)奇偶性的基本方法．