【題目】已知定圓，定直線，過的一條動直線與直線相交于，與圓相交于， 兩點， 是中點．

（Ⅰ）當與垂直時，求證： 過圓心．

（Ⅱ）當，求直線的方程．

（Ⅲ）設，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）或．（Ⅲ）．

【解析】試題分析：（I）由已知，故，所以直線的方程為，即可證明；（II）當直線與軸垂直時，易知符合題意；當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求解；（III）當與軸垂直時，易得， ，求得；當的斜率存在時，設直線的方程為，代入圓的方程，利用根與系數(shù)的關系，化簡即可求解定值.

試題解析：（Ⅰ）由已知，故，所以直線的方程為.

將圓心代入方程易知過圓心.

（Ⅱ）當直線與軸垂直時，易知符合題意；

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，由于，

所以，由，解得.

故直線的方程為或.

（Ⅲ）當與軸垂直時，易得， ，又，則，

，故,即.

當的斜率存在時，設直線的方程為，代入圓的方程得

，則.

，即，

.又由得，

則.

故，

綜上， 的值為定值，且.

另解一：連結，延長交于點，由（Ⅰ）知，又于，

故.于是有.

由， ，得.

故.

另解二：連結并延長交直線于點，連結， ，由（Ⅰ）知，又，

所以四點都在以為直徑的圓上，由相交弦定理得

.

練習冊系列答案
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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在極坐標系中，圓的極坐標方程為： .若以極點為原點，極軸所在直線為軸建立平面直角坐標系.

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【題目】設拋物線的焦點為，準線為，點在拋物線上，已知以點為圓心， 為半徑的圓交于兩點.

（Ⅰ）若， 的面積為4，求拋物線的方程；

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【題目】心理學家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關，某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取名同學（男人，女人），給所有同學幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學只能自由選擇其中一道題進行解答.選題情況如下表（單位：人）：

幾何題

代數(shù)題

總計

男同學

22

8

30

女同學

8

12

20

總計

30

20

50

幾何題

代數(shù)題

總計

男同學

22

8

30

女同學

8

12

20

總計

30

20

50

（1）能否據(jù)此判斷有的把握認為視覺和空間能力與性別有關？

（2）現(xiàn)從選擇做幾何題的名女生中，任意抽取兩人,對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩位女生被抽到的人數(shù)為，求的分布列和.

附表及公式：

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