Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓 上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn).

(1) 求橢圓的方程；

(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)

【解析】

試題分析：(1) 解法1：設(shè)橢圓的方程為,

依題意:    解得:   

∴ 橢圓的方程為.

解法2：設(shè)橢圓的方程為，

根據(jù)橢圓的定義得，即， 

∵，  ∴.  

∴ 橢圓的方程為.

(2)解法1：設(shè)點(diǎn),，則，

，

∵三點(diǎn)共線,

∴.  

∴,                  

化簡得：. ① 

由,即得. 

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即. ②

同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為 .    ③        

設(shè)點(diǎn)，由②③得：，

而，則 .

代入②得 ，   

則，代入 ① 得 ，即點(diǎn)的軌跡方程為.

若 ，則點(diǎn)在橢圓上，而點(diǎn)又在直線上，

∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),

∴直線與橢圓交于兩點(diǎn).

∴滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè).

解法2：設(shè)點(diǎn),，，

由,即得. 

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，

即. 

∵， ∴ .

∵點(diǎn)在切線上,  ∴.       ①  

同理， . ②    

綜合①、②得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.

∵經(jīng)過的直線是唯一的，

∴直線的方程為，  

∵點(diǎn)在直線上，     ∴. 

∴點(diǎn)的軌跡方程為.  

若 ，則點(diǎn)在橢圓上，又在直線上，

∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),

∴直線與橢圓交于兩點(diǎn).

∴滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè).

解法3：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由消去，得.

設(shè),則. 

由,即得.

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.

∵， ∴.                                

同理,得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.

由解得                    

∴. 

∵,

∴點(diǎn)在橢圓上.

∴.

化簡得.(*)

由,

可得方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. ∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).

考點(diǎn)：橢圓拋物線方程及性質(zhì)，直線與橢圓拋物線相交的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：求橢圓方程采用了待定系數(shù)法與定義法，其中待定系數(shù)法是常用的方法，而利用定義求解能使一些題目的計(jì)算量較小很多；第二問在直線與圓錐曲線相交的背景下常聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解