Question

（本小題滿分14分）

       平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、（）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上、A₂兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線。

（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線為；對(duì)給定的，對(duì)應(yīng)的曲線為，設(shè)、是的兩個(gè)焦點(diǎn)。試問(wèn)：在上，是否存在點(diǎn)，使得△的面積。若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理運(yùn)算的能力，以及分類(lèi)與整合和數(shù)形結(jié)合的思想。（滿分14分）

    解：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為，

    當(dāng)時(shí)，由條件可得

即，

又的坐標(biāo)滿足

故依題意，曲線C的方程為

當(dāng)曲線C的方程為是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是圓心在原點(diǎn)的圓；

當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。

（II）由（I）知，當(dāng)m=-1時(shí)，C₁的方程為

當(dāng)時(shí)，

C₂的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為

對(duì)于給定的，

C₁上存在點(diǎn)使得的充要條件是

②

①

由①得由②得

當(dāng)

或時(shí)，

存在點(diǎn)N，使S=|m|a²；

當(dāng)

或時(shí)，

不存在滿足條件的點(diǎn)N，

當(dāng)時(shí)，

由，

可得

令，

則由，

從而，

于是由，

可得

綜上可得：

當(dāng)時(shí)，在C₁上，存在點(diǎn)N，使得

當(dāng)時(shí)，在C₁上，存在點(diǎn)N，使得

當(dāng)時(shí)，在C₁上，不存在滿足條件的點(diǎn)N。