Question

17．如圖（1）所示，在邊長為12的正方形AA′A${\;}_{1}^{′}$A₁中，點B、C在線段AA′上，點B₁、C₁在線段A₁A_1′上，且有CC₁∥BB₁∥AA₁，AB=3，BC=4．連結(jié)對角線AA₁′，分別交BB₁和CC₁于點P和點Q．現(xiàn)將該正方形沿BB₁和CC₁折疊，使得A′A₁′與AA₁重合，構(gòu)成如圖（2）所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，連結(jié)AQ．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求證：AP⊥BC；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直線A₁Q與面APQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AB⊥BC，BC⊥BB₁，從而BC⊥平面ABB₁A₁，由此能證明AP⊥BC．
（2）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A₁Q與面APQ所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵AB=3，BC=4，∴圖（2）中AC=5，
從而有AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC，
又∵BC⊥BB₁，∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∴AP⊥BC．
解：（2）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（3，0，0），A₁（3，0，12），P（0，0，3），Q（0，4，7），
$\overrightarrow{AQ}$=（-3，4，-5），$\overrightarrow{AP}$=（-3，0，3），$\overrightarrow{AQ}$=（-3，4，7），
設(shè)平面APQ的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-3x+3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AQ}=-3x+4y-5z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
設(shè)直線A₁Q與面APQ所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AQ}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{AQ}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{12}{\sqrt{50}•\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴直線A₁Q與面APQ所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．