Question

12．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin（\frac{π}{4}x），2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄，滿足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），則$\frac{{{x_3}•{x_4}}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范圍是（20，32）．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，確定x₁x₂=1，x₃+x₄=12，2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)2≤x≤10，時(shí)，f（x）=sin$\frac{π}{4}$x，
則函數(shù)的圖象如圖，
則0＜x₁＜1＜x₂＜2＜x₃＜x₄，且x₃，x₄，關(guān)于x=6對(duì)稱，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴-log₂x₁=log₂x₂，
∴l(xiāng)og₂x₁x₂=0，
∴x₁x₂=1，
∵f（x₃）=f（x₄），
∴x₃+x₄=12，2＜x₃＜x₄＜10
∴x₁x₂（x₃-2）（x₄-2）=（x₃-2）（x₄-2）=x₃x₄-2（x₃+x₄）+4=x₃x₄-20，
∵2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，x₃+x₄=12，
∴x₃=-x₄+12，
則x₃x₄=（12-x₄）x₄=-（x₄）²+12x₄=-（x₄-6）²+36，
∵8＜x₄＜10，
∴20＜x₃x₄＜32，
則$\frac{{{x_3}•{x_4}}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范圍是（20，32），
故答案為：（20，32）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的圖象畫法、函數(shù)的值域的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，難度較大．