Question

已知拋物線y²=ax（a＞0），直線l過(guò)焦點(diǎn)F且與x軸不重合，則拋物線被l垂直平分的弦（　�。�

• A、不存在
• B、有且僅有一條
• C、有2條
• D、有3條

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂ ）是拋物線y²=ax（a＞0）上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)AB的斜率為k，則k=

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，直線l的斜率即為直線MF的斜率k′．由k•k′=-1，求得 x₁+x₂=-

a

2

＜0 ①．由于對(duì)該拋物線應(yīng)有x₁+x₂＞0，這與①相矛盾，可得拋物線被l垂直平分的弦不存在．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂ ）是拋物線y²=ax（a＞0）上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，
由y12=2px₁、y22=2px₂，求得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁-x₂ ）．
當(dāng)x₁=x₂，AB垂直x軸，直線l和x軸重合，不滿足條件 故x₁≠x₂．
設(shè)AB的斜率為k，則k=

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

．
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），直線l的斜率即為直線MF的斜率，
根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)F（

a

4

，0），可得直線l的斜率為 k′=

y1+y2 2 -0

x1+x2 2 - a 4

=

y1+y2

x1+x2- a 2

．
由k•k′=-1，求得 x₁+x₂=-

a

2

＜0 ①．
由于拋物線除了頂點(diǎn)在原點(diǎn)外，其余各點(diǎn)都在第一、第四象限，∴x₁+x₂＞0，這與①相矛盾，
故拋物線被l垂直平分的弦不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，用反證法證明數(shù)學(xué)命題，屬于基礎(chǔ)題．