Question

17．已知函數(shù)$f（x）=sin（{x+\frac{π}{2}}）cos（{x-\frac{π}{3}}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向下平移$\frac{1}{4}$個單位，再將圖象上各點的縱坐標伸長為原來的4倍（橫坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在$[{0，\frac{π}{3}}]$上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性得出結(jié)論．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)y=g（x）在$[{0，\frac{π}{3}}]$上的最大值．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=sin（{x+\frac{π}{2}}）cos（{x-\frac{π}{3}}）$=cosx•（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）將函數(shù)y=f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$的圖象向下平移$\frac{1}{4}$個單位，可得y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象．
再將圖象上各點的縱坐標伸長為原來的4倍（橫坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象．
在$[{0，\frac{π}{3}}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，g（x）取得最大值為2．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．