Question

17．已知函數(shù)函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}-ax-a$，其中a＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內恰好有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，3）
• B． （3，+∞）
• C． $（0，\frac{1}{3}）$
• D． $（\frac{1}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，分解因式，可得f（x）在區(qū)間（-2，-1）內單調增加，在區(qū)間（-1，0）單調減少，由零點存在定理可得f（-2）＜0，f（-1）＞0，f（0）＜0，解不等式即可得到所求a的范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}-ax-a$的導數(shù)為：
f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），a＞0，
易知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，-1）內單調增加，
在區(qū)間（-1，0）單調減少，
從而函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內恰好有兩個零點，
當且僅當$\left\{\begin{array}{l}f（-2）＜0\\ f（-1）＞0\\ f（0）＜0\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{8}{3}+2（1-a）+2a-a＜0}\\{-\frac{1}{3}+\frac{1-a}{2}+a-a＞0}\\{-a＜0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞-\frac{2}{3}}\\{a＜\frac{1}{3}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得$0＜a＜\frac{1}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的零點問題的解法，注意運用導數(shù)判斷單調性，以及函數(shù)零點存在定理，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．