Question

2．（B組題）設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ是常數(shù)）．若函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上具有單調(diào)性，且$f（-\frac{π}{2}）=f（-\frac{π}{4}）=-f（\frac{π}{4}）$，則f（x）的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（$\frac{3kπ}{4}$，0）（其中k∈Z）．

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性以及圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ是常數(shù)）在區(qū)間$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上具有單調(diào)性，
∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{π}{4}$+φ≤$\frac{π}{2}$，∴ω≤2，ωπ+4φ≤2π ①．
∵$f（-\frac{π}{2}）=f（-\frac{π}{4}）=-f（\frac{π}{4}）$，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{-\frac{π}{2}+（-\frac{π}{4}）}{2}$=-$\frac{3π}{8}$對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，
故f（x）為奇函數(shù)，故φ=0，f（x）=Asin（ωx）．
故周期的最大值為（0+$\frac{3π}{8}$）×4=$\frac{3π}{2}$，故函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為（0+k•$\frac{3π}{4}$，0），即（k•$\frac{3π}{4}$，0），
故答案為：$\frac{3kπ}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性以及圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．