Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足：f（0）=3；f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）令g（x）=f（|x|）+m（m∈R），試討論函數(shù)g（x）零點個數(shù)的情況，請寫出每種情況下對應的m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）要求二次函數(shù)的解析式，利用直接設解析式的方法，一定要注意二次項系數(shù)不等于零，在解答的過程中使用系數(shù)的對應關系，解方程組求的結果，
（2）欲使在區(qū)間[-1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只須x²-3x+1-m＞0，即x²-3x+1-m的最小值大于0，最后求出x²-3x+1-m的最小值后大于0解之即得．
（3）g（x）=x²-|x|+3+m，令f（|x|）=x²-|x|+3，k（x）=-m，化圖象，利用交點判斷零點問題．

解答： 解：（1）設二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=3得c=3，
故f（x）=ax²+bx+3．
因為f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+3-（ax²+bx+3）=2x．
即2ax+a+b=2x，
根據系數(shù)對應相等

2a=2 a+b=0

∴

a=1 b=-1

所以f（x）=x²-x+3，
（2）由題意：x²-x+3＞2x+m在[-1，1]上恒成立，
即x²-3x+3-m＞0在[-1，1]上恒成立g（x）=x²-3x+3-m=（x-

3

2

）²+

3

4

-m
其對稱軸為x=

3

2

，
∴g（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，
∴g（x）_min=g（1）=1-3+3-m=1-m＞0，
∴m＜1，
（3）∵f（x）=x²-x+3，g（x）=f（|x|）+m（m∈R），
∴g（x）=x²-|x|+3+m，
令f（|x|）=x²-|x|+3，k（x）=-m，
根據圖象運用交點個數(shù)判斷結合．
當-m=

11

4

，即m=-

11

4

，函數(shù)g（x）零點個數(shù)為2個，
當

11

4

＜-m＜3，即-3＜m＜-

11

4

，函數(shù)g（x）零點個數(shù)為4個，
當-m=3，即m=-3，函數(shù)g（x）零點個數(shù)為3個，
當-m＞3，即m＜-3，函數(shù)g（x）零點個數(shù)為2個，
當-m＜

11

4

，即m＞-

11

4

，函數(shù)g（x）零點個數(shù)為0個，

點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、二次函數(shù)的性質等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想數(shù)形結合的思想．屬于難題．