Question

8．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的左，右焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C右支上的兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{P{F_2}}$=2$\overrightarrow{{F_2}Q}$，且$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{17}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{P{F_2}}$=2$\overrightarrow{{F_2}Q}$，且$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，建立三角形的邊角關(guān)系，利用雙曲線的定義得到關(guān)于a，c的方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵若$\overrightarrow{P{F_2}}$=2$\overrightarrow{{F_2}Q}$，
∴|$\overrightarrow{P{F_2}}$|=2|$\overrightarrow{{F_2}Q}$|，
∵$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，∴$\overrightarrow{{F_1}Q}$⊥$\overrightarrow{PQ}$，
即∠F₁QF₂為直角，
則設(shè)|$\overrightarrow{P{F_2}}$|=2m，|$\overrightarrow{{F_2}Q}$|=m，
則|F₁F₂|=2c，
則|F₁Q|=$\sqrt{4{c}^{2}-{m}^{2}}$，|F₁P|=$\sqrt{4{c}^{2}-{m}^{2}+9{m}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}+8{m}^{2}}$，
則|F₁Q|-|F₂Q|=$\sqrt{4{c}^{2}-{m}^{2}}$-m=2a，①
|F₁P|-|F₂P|$\sqrt{4{c}^{2}+8{m}^{2}}$-2m=2a，②，
則$\sqrt{4{c}^{2}-{m}^{2}}$-m=$\sqrt{4{c}^{2}+8{m}^{2}}$-2m，
即$\sqrt{4{c}^{2}-{m}^{2}}$+m=$\sqrt{4{c}^{2}+8{m}^{2}}$，
平方整理得17m²=4c²，
則m²=$\frac{4{c}^{2}}{17}$，m=$\frac{2c}{\sqrt{17}}$，代回①得$\sqrt{4{c}^{2}-\frac{4{c}^{2}}{17}}$-$\frac{2c}{\sqrt{17}}$=2a，
即$\frac{8c}{\sqrt{17}}$-$\frac{2c}{\sqrt{17}}$=$\frac{6c}{\sqrt{17}}$=2a，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{17}}}{3}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系建立方程組，求出a，c的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．