設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于任意的正整數(shù)n都有等式數(shù)學(xué)公式成立．
（1）求證數(shù)學(xué)公式（n∈N+）；
（2）求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式；
（3）記數(shù)列數(shù)學(xué)公式的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證Tn＜1．

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，
an=sn-sn-1=4•，
∴，
當(dāng)n=1時(shí)，也符合，
∴
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，
，
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，
∴an-an-1=2
于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，
公差為2的等差數(shù)列．∴）
（3）由（2）知
∴
=＜1
分析：（1）根據(jù)Sn與an的固有關(guān)系an=，結(jié)合已知，代入化簡(jiǎn)，整理．注意n=1情況．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，再次利用根據(jù)Sn與an的固有關(guān)系，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)，探求數(shù)列{an}的性質(zhì)，以利于求解．
（3）由（2）可求得Sn=n（n+1），，用裂項(xiàng)求和法即可獲解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查Sn與an關(guān)系的具體應(yīng)用，等差數(shù)列的定義，數(shù)列裂項(xiàng)求和知識(shí)和方法．要注意對(duì)n的值進(jìn)行討論．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足5an，5bn，5an+1成等比數(shù)列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差數(shù)列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通項(xiàng)an、bn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{
Sn
}是公差為d的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用n，d表示）；
（2）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求證：c的最大值為
9
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{
Sn
}是公差為d的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用n，d表示）；
（Ⅱ）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求c的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•廣東）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn=
a
2
n+1
-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）證明：a2=
4a1+5
；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于任意的正整數(shù)n都有等式Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an（n∈N*）成立．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令數(shù)列bn=|c|
an
2n
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若Tn＞8對(duì)n∈N*恒成立，求c的取值范圍．

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