Question

已知函數f（x）對任意實數x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且當x＞0，f（x）＜0，且f（1）=-2．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值；
（3）解關于x的不等式f（ax²）-2f（x）＜f（ax）+4．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數奇偶性的判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）取x=y=0可得f（0）=0；再取y=-x代入即可；
（2）先判斷函數的單調性，再求函數的最值；
（3）由于f（x）為奇函數，整理原式得 f（ax²）+f（-2x）＜f（ax）+f（-2）；即f（ax²-2x）＜f（ax-2）；再由函數的單調性可得ax²-2x＞ax-2，從而求解．

解答： 解：（1）取x=y=0，
則f（0+0）=f（0）+f（0）；
則f（0）=0；
取y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）對任意x∈R恒成立
∴f（x）為奇函數；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0；
∴f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0；
∴f（x₂）＜-f（-x₁），
 又∵f（x）為奇函數
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數；
∴對任意x∈[-3，3]，恒有f（x）≤f（-3）
而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-2×3=-6；
∴f（-3）=-f（3）=6；
∴f（x）在[-3，3]上的最大值為6；
（3）∵f（x）為奇函數，
∴整理原式得 f（ax²）+f（-2x）＜f（ax）+f（-2）；
即f（ax²-2x）＜f（ax-2）；
而f（x）在（-∞，+∞）上是減函數，
∴ax²-2x＞ax-2； 
∴（ax-2）（x-1）＞0．
∴當a=0時，x∈（-∞，1）；
當a=2時，x∈{x|x≠1且x∈R}；
當a＜0時，x∈{x|

2

a

＜x＜1}；
當0＜a＜2時，x∈{x|x＞

2

a

或x＜1}
當a＞2時，x∈{x|x＜

2

a

或x＞1}．

點評：本題考查了抽象函數的應用，同時考查了分類討論的數學思想，屬于難題．