Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且當(dāng)x＞0，f（x）＜0，且f（1）=-2．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值；
（3）解關(guān)于x的不等式f（ax²）-2f（x）＜f（ax）+4．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）取x=y=0可得f（0）=0；再取y=-x代入即可；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值；
（3）由于f（x）為奇函數(shù)，整理原式得 f（ax²）+f（-2x）＜f（ax）+f（-2）；即f（ax²-2x）＜f（ax-2）；再由函數(shù)的單調(diào)性可得ax²-2x＞ax-2，從而求解．

解答： 解：（1）取x=y=0，
則f（0+0）=f（0）+f（0）；
則f（0）=0；
取y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）對(duì)任意x∈R恒成立
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0；
∴f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0；
∴f（x₂）＜-f（-x₁），
 又∵f（x）為奇函數(shù)
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
∴對(duì)任意x∈[-3，3]，恒有f（x）≤f（-3）
而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-2×3=-6；
∴f（-3）=-f（3）=6；
∴f（x）在[-3，3]上的最大值為6；
（3）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴整理原式得 f（ax²）+f（-2x）＜f（ax）+f（-2）；
即f（ax²-2x）＜f（ax-2）；
而f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
∴ax²-2x＞ax-2； 
∴（ax-2）（x-1）＞0．
∴當(dāng)a=0時(shí)，x∈（-∞，1）；
當(dāng)a=2時(shí)，x∈{x|x≠1且x∈R}；
當(dāng)a＜0時(shí)，x∈{x|

2

a

＜x＜1}；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，x∈{x|x＞

2

a

或x＜1}
當(dāng)a＞2時(shí)，x∈{x|x＜

2

a

或x＞1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．