Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-a+2．
（Ⅰ）若f（x）是R上偶函數(shù)，求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的值域；
（Ⅱ）若f（x）＜0對(duì)任意x∈[0，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若f（x）是R上偶函數(shù)，則圖象對(duì)稱軸為y軸，可得a=0，代入求解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求在[-1，2]上的值域；（Ⅱ）f（x）=x²-2ax-a+2為開口向上的二次函數(shù)，由f（x）＜0對(duì)任意x∈[0，2]恒成立可得

f(0)＜0 f(2)＜0

，（Ⅲ）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上有零點(diǎn)則f（0）f（2）=（2-a）（6-5a）≤0，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）依題意f（x）是R上偶函數(shù)則圖象對(duì)稱軸為y軸，∴x=a=0，∴a=0，∴f（x）=x²+2，
當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+2在[-1，0]上遞減，在[0，2]上遞增，
∴f（x）∈[2，6]即函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇2，6]，
（Ⅱ）f（x）=x²-2ax-a+2為開口向上的二次函數(shù)，
由f（x）＜0對(duì)任意x∈[0，2]恒成立
則

f(0)=2-a＜0 f(2)=6-5a＜0

，
解得a＞

6

5

，
（Ⅲ）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上有零點(diǎn)
則f（0）f（2）=（2-a）（6-5a）≤0，或

△=4(a2+a-2)≥0 0＜a＜2 f(0)=2-a＞0 f(2)=6-5a＞0

，
解得

6

5

≤a≤2，或1≤a＜

6

5

∴1≤a≤2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1≤a≤2，

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，主要是奇偶性，函數(shù)值以及零點(diǎn)的存在性問題，屬于對(duì)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．