Question

16．如圖，橢圓x²+2y²=1的右焦點為F，直線l不經(jīng)過焦點，與橢圓相交于點A，B，與y軸的交點為C，則△BCF與△ACF的面積之比是（　�。�

• A． |$\frac{|BF|-1}{|AF|-1}$|
• B． |$\frac{|BF{|}^{2}-1}{|AF{|}^{2}-1}$|
• C． $\frac{|BF|+1}{|AF|+1}$
• D． $\frac{|BF{|}^{2}+1}{|AF{|}^{2}+1}$

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的性質(zhì)，求得a、b和c的值及焦點坐標(biāo)，設(shè)出A和B的坐標(biāo)，將三角形的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為$\frac{丨{x}_{2}丨}{丨{x}_{1}丨}$，根據(jù)橢圓的第二定義求得AF、BF與x₁和x₂的關(guān)系，即可求得答案．

解答 解：橢圓x²+2y²=1，a²=1，b²=$\frac{1}{2}$，c²=$\frac{3}{2}$，
焦點F（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\frac{{S}_{△BCF}}{{S}_{△ACF}}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{丨{x}_{2}丨}{丨{x}_{1}丨}$，
橢圓的右準(zhǔn)線：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴$\frac{AF}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{1}}$=$\frac{c}{a}$，$\frac{BF}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{2}}$=$\frac{c}{a}$，
∴AF=a-$\frac{c}{a}{x}_{1}$=1-$\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{1}$，
BF=a-$\frac{c}{a}{x}_{2}$=1-$\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{1}$=1-AF，$\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{2}$=1-BF，
$\frac{丨{x}_{2}丨}{丨{x}_{1}丨}$=$\frac{丨\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{2}丨}{丨\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{1}丨}$=$\frac{丨1-BF丨}{丨1-AF丨}$=丨$\frac{丨BF丨-1}{丨AF丨-1}$丨，
故答案選：A．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的第二定義，三角形的面積公式，利用橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．