Question

1．若實(shí)數(shù)a，b滿足a=$\sqrt{4a-b}$+2$\sqrt$，則a的最大值是20．

Answer 1

分析 用換元法，設(shè)$\sqrt$=x，$\sqrt{4a-b}$=y，則x≥0，y≥0；求出b與a的解析式，由a=$\sqrt{4a-b}$+2$\sqrt$得出y與x的關(guān)系式，再根據(jù)其幾何意義求出a的最大值．

解答 解：設(shè)$\sqrt$=x，$\sqrt{4a-b}$=y，且x≥0，y≥0；
∴b=x²，4a-b=y²，即a=$\frac{{y}^{2}+b}{4}$=$\frac{{y}^{2}{+x}^{2}}{4}$；
∴a=$\sqrt{4a-b}$+2$\sqrt$可化為$\frac{{y}^{2}{+x}^{2}}{4}$=y+2x，
即（x-4）²+（y-2）²=20，其中x≥0，y≥0；
又（x-4）²+（y-2）²=20表示以（4，2）為圓心，以2$\sqrt{5}$為半徑的圓的一部分；
∴a=$\frac{{y}^{2}+b}{4}$=$\frac{{y}^{2}{+x}^{2}}{4}$表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的$\frac{1}{4}$，如圖所示；
∴a的最大值是$\frac{1}{4}$×（2r）²=r²=20
故答案為：20．

點(diǎn)評 本題考查了給出條件求最值的應(yīng)用問題，主要考查了換元法和圓的方程的運(yùn)用問題，考查了數(shù)形結(jié)合和運(yùn)算能力，屬于中檔題．