Question

11．在平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，4AB²+2BD²=1，將此平行四邊形沿BD折成直二面角，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． π
• C． 2π
• D． 4π

Answer 1

分析 利用折成直二面角推出AB⊥BC，CD⊥AD．取AC的中點O，說明外接球的球心是O，求出外接球的半徑，然后求解表面積．

解答 解：如圖，因為平面BDC⊥平面ABD（折成直二面角），

所以AB⊥平面BDC，CD⊥平面ABD，得AB⊥BC，CD⊥AD．
取AC的中點O，則OA=OB=OC=OD．
于是外接球的球心是O，OA=$\frac{1}{2}$AC．
而AC²=AB²+BC²=$\frac{1}{2}$（4AB²+2BD²）=$\frac{1}{2}$．
所以半徑OA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
于是外接球的表面積為S=4π•OA²=$\frac{π}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，判斷外接球的球心是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．