Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax²-3x+b，若f（x）＞0的解集為{x|x＜1或x＞2}．
（1）解不等式$\frac{x-c}{ax-b}$＞0（c為常數(shù)）；
（2）若bx-1＞m（ax²-1）在m∈[-2，2]上恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a，b的值，通過討論c的范圍，解不等式即可；
（2）不等式對任意m恒成立，可把m看作變量，x為常數(shù)，構造一次函數(shù)f（m），根據(jù)其單調性得到不等式組，再解出即可．

解答 解（1）∵函數(shù)f（x）=ax²-3x+b，若f（x）＞0的解集為{x|x＜1或x＞2}．
∴1，2是方程ax²-3x+b=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3+b=0}\\{4a-6+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴不等式$\frac{x-c}{ax-b}$＞0（c為常數(shù)），即$\frac{x-c}{x-2}$＞0，
c＞2時，解得：x＞c或x＜2，
c＜2時，解得：x＞2或x＜c，
故c＞2時，不等式的解集是{x|x＞c或x＜2}，
c＜2時，不等式的解集是{x|x＞2或x＜c}；
（2）若bx-1＞m（ax²-1）在m∈[-2，2]上恒成立，
由（1）得：即2x-1＞m（x²-1）在m∈[-2，2]上恒成立，
不等式2x-1＞m（x²-1）可化為
m（x²-1）-2x+1＜0…①
當x=1時，①式即-1＜0，顯然成立，
當x=-1時，①式即3＜0，顯然不成立，
當x≠±1時，令f（m）=m（x²-1）-2x+1，
由一次函數(shù)性質知，
不等式2x-1＞m（x²-1）對任意m∈[-2，2]恒成立等價于，
$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{-{2x}^{2}-2x+3＜0}\\{{2x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，
解得，（$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），
∴x∈（$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），
故答案為：（$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）．

點評 本題主要考查不等式問題，考查轉化思想，即確定主元，同時考查構造函數(shù)思想，應用函數(shù)的性質解決，解題時還應對參數(shù)進行討論，是一道很好的題目，屬于中檔題．